Fundamentos de Análisis y Diseño Estructural para estudiantes de Arquitectura

fundamentos de análisis y diseño estructural para estudiantes de arquitectura fundamentos de análisis y diseño estructural para estudiantes de arquitectura

INDICE

Fundamentos

01

Dimensionamiento

02

Estática Gráfica

03

Cables

04

Arcos

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Arcos y cables

06

Retículas

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Vigas

Pórticos

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Columnas

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Fundamentos

Fundamentos de Análisis y Diseño Estructural para estudiantes de Arquitectura

Figura 1

La fuerza como magnitud vectorial. En el análisis y diseño estructural, las fuerzas se representan mediante vectores (Figura 1). En sentido matemático, un vector está completamente definido por su dirección y su magnitud y puede moverse libremente. Dado que las fuerzas suelen estar viculadas geométricamente a un lugar, se requieren especificaciones adicionales. A menudo, además de la direc ción y la magnitud de la fuerza, se especifica también su punto de acción. Dado que, como se verá más adelante, un desplazamiento de la fuerza a lo largo de su eje no influye en la formulación de las condiciones de equi librio, en muchos casos basta con conocer el eje sobre el que se sitúa la fuerza, la denominada línea de acción (o línea de fuerza). En general, en el análisis y diseño estructural, la fuerza viene determinada por tres varia bles:

a

b

Figura 2

Descomposición de fuerza. Una fuerza puede descomponerse en varias fuerzas. Así, una fuerza que actúa oblicuamente en una estructura puede descomponerse en un componente horizontal y un componente vertical sin que esto tenga consecuencias en el sistema en su conjunto (Figura 2.a). Las líneas de acción de los componentes de la fuerza pasan por el punto de aplicación de la fuerza. Una fuerza puede ser representada como la descomposición de compo nentes en alineados con los ejes de un sistema de coordenadas cartesia no (Figura 2.b). Estos componentes a menudo se denominan componen tes X e Y.

1. Dirección 2. Magnitud 3. Punto de aplicación.

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ejemplo descrito, es manifiesto que la fuerza del suelo sobre la persona, que se produce cuando la persona se separa del conjunto del sistema en el límite del subsistema, y la fuerza de la persona sobre el terreno, que se produce cuando el terreno se separa del conjunto del sistema en el límite del subsistema, deben tener la misma intensidad. Acción y reacción. Para describir esta situación, se dice que "acción es igual a reacción" (abreviado: actio = reactio, famosa ecuación formulada por Isaac Newton). Presupone que se define un sujeto que realiza la acción y un objeto que sufre la acción y realiza una reacción. El principio también se aplica cuando se intercambian el sujeto y el objeto. Para evitar posibles confusiones, es útil definir qué objeto ejerce qué fuerza sobre qué objeto (fuerza de la persona sobre el suelo o fuerza del suelo sobre la persona). Para que la persona de la figura esté en equilibrio, deben cumplirse varias condiciones. Las dos fuerzas que actúan sobre la persona están en equilibrio si:

a

b

Figura 3

Fuerzas gravitatorias. El principal tipo de fuerzas que actúan sobre una estructura son las fuer zas gravitatorias. Cualquier masa, por ejemplo, una persona, una silla, una mesa o una parte de la estructura, es atraída por la tierra. En otras pala bras, toda masa está sometida a la atracción gravitatoria de la Tierra. A la inversa, la Tierra también experimenta una fuerza gravitatoria de toda masa que se encuentre sobre ella, por ejemplo, de una persona. Por tanto, la Tierra y cualquier persona pueden considerarse dos masas que se atraen (Figura 3.a). Una persona de pie sobre la superficie terrestre no sólo experimenta la fuerza gravitatoria de la tierra (Figura 3.b). Se sabe por experimentación que el terreno tiene la función "activa" de sujetar a la persona ejerciendo una fuerza ascendente sobre sus pies. Para poder representar esta fuerza, la persona debe estar separada conceptualmente del resto del sistema persona-tierra. La parte separada del sistema con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina subsistema. En el

1. tienen la misma intensidad y 2. son de sentidos opuestos y 3. están en la misma línea de acción.

Las dos primeras condiciones pueden resumirse en una condición equiva lente: las dos fuerzas deben anularse vectorialmente. Así pues, las condi ciones generalizadas de equilibrio de dos fuerzas son las siguientes:

1. Dos fuerzas se anulan vectorialmente en el diagrama de fuerzas y 2. Dos fuerzas se encuentran en la misma línea de acción en el diagrama de forma.

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a

b

Figura 4

Figura 5

Resultante de dos fuerzas. Una de las dos condiciones de equilibrio estático exige que las fuerzas se anulen vectorialmente. Si alineamos dos vectores de tal forma que el punto inicial del primero se conecta con el punto final del segundo, podemos calcular un nuevo vector conectando el punto inicial del prime ro con el punto final del segundo. Este nuevo vector es la suma del primer y segundo vector. Si éste se dispone en el diagrama de forma sobre una línea de acción que pasa por el punto de intersección de las líneas de acción de las dos fuerzas iniciales, este nuevo vector de fuerza tiene el mismo efecto estático que las dos fuerzas alineadas. Este nuevo vector de fuerza se denomina resultante de las dos fuerzas y es estáticamente equi valente a las dos fuerzas iniciales (Figura 5). Por tanto, se puede concluir que dos fuerzas que están en equilibrio entre sí tienen una resultante igual a cero. Esta no tiene ningún efecto acelerador sobre el cuerpo sobre el que actúa. Si las dos fuerzas iniciales también se encuentran en la misma línea de acción, no generan un movimiento de rotación y, por tanto, existe un estado de equilibrio.

Condiciones de equilibrio estático. En el diagrama de fuerzas, las fuerzas se alinean vectorialmente, es decir, se suman vectorialmente, independientemente de su punto de aplica ción, teniendo en cuenta su dirección. Por tanto, tanto la dirección como la magnitud deben transferirse correctamente, por lo que la longitud de las flechas debe trazarse proporcionalmente a la intensidad de la fuerza. Varias fuerzas se anulan vectorialmente si el final del último vector de fuerza aplicado coincide con el principio del primer vector de fuerza apli cado. En el diagrama de forma, las fuerzas se representan geométrica mente de forma correcta en el sistema físico, teniendo en cuenta sus puntos de aplicación. El significado de la primera condición (anulación vectorial) puede comprenderse fácilmente si se hace desaparecer en la mente la fuerza bajo los pies. Este es el caso, por ejemplo, cuando una persona salta de una mesa. Entonces la persona ya no está en equilibrio estático, sino que experimenta un movimiento de traslación (Figura 4.a). El significado de la segunda condición (misma línea de acción) es que el sistema está en equilibrio estático (Figura 4.b).

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Figura 6

Figura 7

La figura 6 muestra una presa sometida a su peso propio y a la fuerza del agua. Para alcanzar el equilibrio es necesaria una tercera fuerza que con trarreste la suma vectorial del peso propio y la fuerza del agua. Esta tercera fuerza debe ser igual a la resultante R de las dos fuerzas iniciales pero en sentido opuesto. En palabras simples, esta tercera fuerza debe ser igual a -R. Otra condición que debe darse es que la línea de acción de esta tercera fuerza debe pasar por el punto de intersección de las líneas de acción de las dos fuerzas iniciales. En conclusión, podemos decir que las condiciones de equilibrio generalizado para tres fuerzas no coinciden tes se dan sólo si:

Tracción. Todas las fuerzas analizadas hasta ahora son las denominadas fuerzas externas en el sentido de la teoría estructural. Entre ellas se incluyen los pesos muertos, las cargas vivas, las fuerzas del viento, las fuerzas sísmicas y las fuerzas de reacción presentes en los límites del subsistema (Todas las fuerzas externas se muestran en verde). La cuerda de la lámpara colgante PH5 de Poul Henningsen que se muestra en la imagen (Figura 8) se ve afectada por las fuerzas ejercidas por el cuerpo de la lámpara y el anclaje al techo.

1. Se cancelan vectorialmente en el diagrama de fuerzas. 2. Sus líneas de acción se cruzan en un único punto.

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Figura 8

Figura 9

El cable transmite la fuerza del cuerpo de la lámpara al techo y viceversa. En otras palabras, el cable es traccionado por el cuerpo de la lámpara y el anclaje al techo. Para comprender mejor el significado de la fuerza interna, hay que suponer que la masa de la cuerda es despreciable en comparación con la del cuerpo de la lámpara. Al considerar el subsistema de la cuerda, se puede imaginar que hay una transmisión de fuerza a través de la cuerda, que está sometida a un esfuerzo de tracción (Figura 8).

La cuerda puede descomponerse en otros subsistemas que pueden examinarse (Figura 9). Todas las fuerzas aplicadas deben tener la misma intensidad, es decir, se supone que cada parte está sometida al mismo esfuerzo, independientemente de su longitud y sección transversal. Cuantitativamente, la fuerza de tracción interna N de la cuerda puede definirse como la fuerza transmitida de un extremo de la cuerda al otro. En el caso que nos ocupa, se trata de la fuerza gravitatoria G ejercida por la tierra sobre el cuerpo de la lámpara y viceversa, es decir N = G medida en [N]. N es la fuerza interna y G la carga externa que actúa sobre la cuerda. Por convención, la fuerza de tracción interna se muestra con signo positivo y se muestran en rojo.

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Figura 10

Figura 11

Compresión. La varilla de la lámpara de pie PH80 de Poul Henningsen que se muestra en la imagen (Figura 10) está sometida a las fuerzas ejercidas por el cuerpo de la lámpara y el pie de la lámpara. La varilla transmite la fuerza del cuerpo de la lámpara al pie de la lámpara y viceversa.

En este caso, se puede decir que la varilla está presionada por el cuerpo y el pie de la lámpara. Como antes, supongamos que la masa de la varilla es despreciable comparada con la del cuerpo de la lámpara. Una vez más, cuando se considera el subsistema de la varilla, se puede imaginar que hay una transmisión de fuerza a través de la varilla que está cargada en compresión (Figura 11).

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V

A

q

F

Figura 13

Cargas. Las fuerzas que actúan sobre las estructuras se denominan cargas o acciones (Figura 13). Se clasifican en:

Figura 12

Esto puede ilustrarse de nuevo con la ayuda de subsistemas adicionales (Figura 12). Como antes, la fuerza de compresión interna N de la varilla puede definirse cuantitativamente como la fuerza transmitida de un extremo de la varilla al otro. En el caso que nos ocupa, se trata de la fuerza gravitatoria G que ejerce la tierra sobre el cuerpo de la lámpara y viceversa. N = - G medida en (N). N es la fuerza interna y G la carga externa que actúa sobre la varilla. Por convención, la fuerza de compre sión interna tiene signo negativo y se muestra en azul.

Carga volumétrica/Peso específico [N/m3] La carga volumétrica V corresponde a la fuerza gravitacional de un volumen específico. Una carga volumétrica especial es denominada como peso específico Pe. Corresponde a la fuerza gravitacional de un m3 de un material de construcción específico. El peso específico Pe se calcula como el producto de la masa de un metro cúbico de material de construcción y la aceleración debida a la gravedad. La masa, a su vez, se calcula como el producto del volumen y la densidad.

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Carga superficial [kN/m2]. En ciertos casos de aplicación, es útil especificar una carga por unidad de área. Por ejemplo, la carga de una estructura de piso se indica como peso por m² de superficie. La carga superficial A que actúa sobre un m² se calcula a partir del peso específico del material multiplicado por su espe sor. Además, por ejemplo, las cargas del viento también se indican como cargas superficiales. Carga lineal/Carga distribuida [kN/m]. Las cargas lineales se expresan como fuerza por unidad de longitud. Esta notación suele encontrarse cuando se observan componentes lineales. Por ejemplo, el peso propio de los muros y vigas se cita como fuerza por metro lineal (kN/m). Se puede distinguir entre cargas lineales constantes (carga distribuida uniforme) y cargas lineales variables (por ejemplo, carga triangular, carga trapezoidal). Carga puntual [N]. Las cargas que actúan en un punto específico también se llaman cargas puntuales. Aparecen, por ejemplo, en forma de fuerzas de apoyo en vigas o cargas de columnas. Se considera que la fuerza actúa en un solo punto. Las cargas puntuales se designan con letras mayúsculas: W o P: Carga puntual debido al peso propio F: Fuerza, en general.

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Figura 14

La mayoría de las fuerzas provienen de cargas superficiales (figura 14), como el peso de un revestimiento de techo o una capa de nieve, que actúan sobre la superficie horizontales de elementos constructivos. Si se debe determinar la carga uniformemente distribuida en un componente lineal de la estructura, la carga superficial se multiplica por el ancho del área de influencia. Esto da como resultado la unidad kN/m, es decir, la fuerza por metro lineal en el elemento lineal específicamente considerado. Esta situación puede abstraerse aún más multiplicando por la longitud del área de influencia, es decir, la longitud del elemento. El resultado es una carga puntual resultante que se aplica centralmente sobre el elemento.

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Figura 15

Una carga superficial actúa sobre toda la estructura. Para determinar la carga que un elemento vertical relevante debe soportar, se determina el llamado área de influencia. Esta es una subárea de la carga superficial. Como regla general, las cargas van directamente al soporte más cercano. Por lo tanto, se divide a la mitad la distancia entre dos elementos portantes en cada caso para encontrar las dimensiones del área de influencia respectiva (Figura 15). Área de influencia de una columna. Se presenta una situación de carga con una carga superficial aplicada actuando sobre una losa, que a su vez descansa sobre una serie de soportes. Si se dividen las distancias entre los soportes, se crean las áreas de influencia respectivas de los soportes. En el siguiente ejemplo, el área de influencia en una columna central es cuatro veces mayor que la de una columna en la esquina (Figura 15). Por lo tanto, al dimensionar, se considera la columna central, ya que experimenta la mayor fuerza. Para calcular la carga puntual resultante en la columna central, la carga superficial se multiplica por el tamaño del área de influencia.

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Figura 16

Área de influencia de una viga. Se presenta una situación de carga con una carga superficial aplicada actuando sobre una placa, que a su vez descansa sobre una serie de vigas. De manera análoga al ejemplo anterior, se crean las áreas de influencia respectivas cuando las distancias entre las vigas se dividen a la mitad. En el siguiente ejemplo, el área de influencia de una viga central es dos veces más grande que la de una viga en el borde de la losa (Figura 16). Por lo tanto, al dimensionar, nuevamen te se considera la viga central, ya que experimenta la mayor fuerza. Para calcular la carga puntual resultante, la carga superficial se multiplica por el tamaño del área de influencia. Dado que la pared es un elemento lineal, también podría ser útil conocer la magnitud de la carga lineal. Esta se calcula dividiendo el resultado por la longitud del elemento.

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Figura 17

Figura 19

Figura 18

Figura 20

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a

b

Figura 21

Cargas permanentes (Figura 21.a). El peso propio de una estructura, así como componentes fijamente instalados, como por ejemplo, estructuras de suelo, es condicionado por la fuerza de gravedad. Esta permanece constante durante toda la vida útil de la estructura. A las cargas permanentes también se incluyen las fuerzas provenientes de la pretensión de componentes. Cargas variables (Figura 21.b). A través del uso de la estructura, surgen cargas adicionales: las cargas útiles, que se determinan según la categoría de uso. Estas son causadas por personas, vehículos, mobiliario, etc. La nieve y el viento también son considerados como cargas variables. Estas dependen de la ubicación geográfica y la geometría de la estructura.

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Área de influencia de una viga. Se presenta una situación de carga con una carga superficial aplicada actuando sobre una placa, que a su vez descansa sobre una serie de vigas. De manera análoga al ejemplo anterior, se crean las áreas de influencia respectivas cuando las distancias entre las vigas se dividen a la mitad. En el siguiente ejemplo, el área de influencia de una viga central es dos veces más grande que la de una viga en el borde de la losa (Figura 16). Por lo tanto, al dimensionar, nuevamente se considera la viga central, ya que experimenta la mayor fuerza. Para calcular la carga puntual resultante, la carga superficial se multiplica por el tamaño del área de influencia. Dado que la pared es un elemento lineal, también podría ser útil conocer la magnitud de la carga lineal. Esta se calcula dividiendo el resultado por la longitud del elemento.

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Figura 22

En los apoyos, se producen fuerzas y momentos reactivos que son nece sarios para establecer el equilibrio de fuerzas y momentos. Se denomina apoyo a los puntos de la estructura donde se apoya sobre otros compo nentes o sobre el suelo. Fundamentalmente, se diferencian tres tipos de apoyos (Figura 22):

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Apoyos deslizantes. Los apoyos deslizantes solo pueden transferir fuerzas a lo largo de una línea de acción. No pueden absorber fuerzas perpendiculares a esta línea, permitiendo un desplazamiento en esa dirección. Además, es posible una rotación del componente en el apoyo. Los apoyos deslizantes pueden evitar restricciones en los componentes (ver pág. 41). Apoyos articulados. Los apoyos articulados pueden transferir fuerzas a lo largo de dos líneas de acción perpendiculares entre sí. No se permite el desplazamiento en ninguna dirección en estos apoyos. Sin embargo, no impiden rotaciones. Estos apoyos se implementan, por ejemplo, en columnas pendulares o en un apoyo de una viga, para evitar restricciones. Apoyos empotrados. Los apoyos empotrados pueden transferir fuerzas a lo largo de dos líneas de acción perpendiculares entre sí y, además, resistir un momento. Cuando un componente se apoya solo en un punto, como una columna independiente o una viga en voladizo, se debe realizar un empotramiento. Solo de esta manera se pueden cumplir las tres condiciones de equilibrio.

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Dimensionamiento

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Figura 24

Figura 23

Fuerzas internas y deformaciones en un elemento estructural.

Elongación de un resorte. Imagina un resorte con una longitud inicial L, sujeto al techo por un extremo y con un peso W colgando del otro extremo. Si se aumenta el peso W y, por tanto, la fuerza interna T, la elongación ∆L también aumen ta. De este modo, si el peso W se duplica, el elongación también se dupli ca. (Figura 24)

Cuando se tira de un resorte, éste se alarga. Lo mismo ocurre con los elementos estructurales. Por ejemplo, una varilla de madera o acero se alarga cuando se aplica una fuerza de tracción en ambos extremos. Si, por el contrario, se aplica una fuerza de compresión a un pilar de hormigón, éste se acorta. Aunque las deformaciones correspondientes suelen ser pequeñas, estas pueden ser relevantes en el comportamiento de una estructura. (Figura 23)

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a

b

Figura 26

Figura 25

Rigidez de un elemento estructural. La longitud del resorte puede duplicarse fácilmente añadiendo un segun do resorte con las mismas propiedades al primero (Figura 26.a). Con la ayuda de subsistemas, se hace evidente que ambos resortes tienen la misma fuerza interna que el resorte individual examinado. Sin embargo, la elongación ∆L se suma, resultando en una deformación doble y por lo tanto una rigidez reducida a la mitad, como en el caso del resorte indivi dual. Generalizando, esto significa que la rigidez es inversamente propor cional a la longitud. Cabe señalar que, bajo una fuerza constante, la elongación específica ∆L/L del elemento estructural permanece constan te.

Esto significa que si se representan los valores en un gráfico T (∆L), se obtiene una relación lineal entre la elongación y la fuerza de tracción aplicada. Cuando se levanta el peso colgando del resorte, la fuerza inter na en el resorte se reduce. Si se quita el peso completamente, la fuerza interna es nuevamente cero y el resorte regresa a su longitud original. Esto significa que el resorte muestra un comportamiento completamente reversible. Este comportamiento se llama comportamiento elástico. Si el comportamiento es elástico y reversible, un único parámetro es suficiente para definir cuantitativamente la elongación de un elemento sometido a una carga axial. Esta magnitud, que representa la inclinación de la recta en el gráfico T (∆L), se denomina rigidez, D = T/∆L . (Figura 25)

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En otro experimento, los dos resortes se colocan en paralelo (Figura 26.b). De esta manera, el área transversal del resorte se duplica. Cada uno de los dos resortes soporta la mitad de la fuerza T, por lo que la elongación ∆L se reduce a la mitad en comparación con el caso de un solo resorte. Por lo tanto, la rigidez se ha duplicado. Esto significa que la rigidez es directa mente proporcional al área transversal A. La rigidez de un elemento estructural, definida como la relación entre la fuerza T y la elongación ∆L, es por lo tanto directamente proporcional al área transversal A e inversa mente proporcional a la longitud L.

Fuerzas internas en un material. De las dos primeras columnas de la izquierda representadas en la Figura 27, la de la derecha tiene un área transversal el doble de grande que la de la izquierda. Si inicialmente se ignoran los pesos propios de las columnas y ambas se cargan con la misma fuerza externa W, la fuerza interna C es independiente de la longitud y del área transversal de las columnas. Por lo tanto, la fuerza interna en ambas columnas es idéntica. Si la segunda columna se divide verticalmente en dos partes iguales, estas dos partes tendrán una fuerza interna que es la mitad de la primera columna. Por lo tanto, la fuerza interna en la columna depende únicamente de la intensidad de la fuerza de compresión interna. En contraste, la fuerza interna C en el material siempre está también relacionada con el área transversal A. Por lo tanto, se define una fuerza relacionada con el área transversal: σ = C/A. La fuerza interna relativa es, por lo tanto, dos veces mayor en la primera columna que en la segunda, porque la columna derecha tiene un área transversal el doble de grande que la izquierda. Esta fuerza interna relati va es denominada en ingeniería como tensión o esfuerzo unitario y describe la tensión interna del material. Puede interpretarse como la fuerza que actúa sobre una sección con un área unitaria A = 1.

Figura 27

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02 - dimensionamiento

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Figura 28

Deformación. Las tensiones siempre van acompañadas de deformaciones. Las tensiones normales causan un cambio de longitud (deformación), aunque este cambio es generalmente muy pequeño. Las tensiones de tracción produ cen deformaciones positivas, mientras que las tensiones de compresión causan deformaciones negativas (compresión). El coeficiente de defor mación E indica la medida de la deformación. Corresponde a la relación entre el cambio de longitud y la longitud inicial de un elemento estructu ral (Figura 28).

Ley de Hooke. El académico Robert Hooke (1635-1703) descubrió que las tensiones y las deformaciones en materiales linealmente elásticos se comportan de manera proporcional. Si la carga aumenta, la deformación se incrementa proporcionalmente; si disminuye, la deformación se reduce. Esto también describe el comportamiento de un resorte. En muchos de los materiales utilizados en la construcción se observa esta relación lineal, especial mente en el rango habitual de utilización de la tensión. La relación entre la tensión y la deformación en el rango elástico lineal se denomina módulo de elasticidad (E-modulo). Este es una constante del material que proporciona información sobre la rigidez.

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Figura 30

Comportamiento material del vidrio. Cuando una varilla de vidrio se somete a un esfuerzo de tracción, se alarga como cualquier otro material. Este alargamiento es apenas perceptible a simple vista. Cuando la barra se descarga de nuevo, vuelve a su longitud original. Si la barra se carga progresivamente cada vez más, se rompe repentinamente en dos trozos. La tensión máxima que presenta la barra de vidrio cuando se alcanza la rotura se denomina resistencia a la tracción ft. El vidrio se comporta de forma similar en compresión: la tensión máxima que se alcanza en el momento de la rotura se denomina resistencia a la compresión fc. El diagrama tensión-deformación muestra que el vidrio tiene un comportamiento lineal-elástico. Dado que la varilla de vidrio se rompe bruscamente sin previo aviso cuando se alcanza la resistencia a la tracción ft, el comportamiento se denomina frágil. Se necesitan grandes fuerzas para romper una varilla de vidrio en tensión. Por ello, como alternativa, se puede realizar un experimento sencillo sometiendo a tensión la varilla de vidrio en flexión donde las deforma ciones pueden visualizarse mucho mejor.

a

b

Figura 29

Rigidez del material. La rigidez del material se puede definir de manera análoga a la que se usó para definir la rigidez de un elemento estructural (Figura 29.a). También puede representarse en un llamado diagrama de tensión- deformación como una relación lineal (Figura 29.b). En la Figura 29, el diagrama de tensión-deformación para el material se compara con el diagrama de tracción-elongación para un elemento sometido a una carga axial. Se enfatiza nuevamente que, en la representación del elemento estructural, un cambio en el área transversal o en la longitud afecta el comporta miento y, por lo tanto, la representación. En el diagrama que se refiere al material, estos parámetros, en cambio, no tienen influencia.

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Figura 31

Corportamiento del acero. Si el experimento análogo descrito para el vidrio se realiza con una varilla de acero fabricada con acero estructural convencional S235, se obtiene cualitativamente el mismo resultado en una primera fase. La varilla se deforma proporcionalmente a la fuerza externa aplicada. Cuando se retira la carga, vuelve a su forma original como el vidrio. (Figura 31). Si, por el contrario, la carga supera un cierto límite, la varilla comienza a deformarse de forma irreversible, es decir, a fluir. Si se alivia de nuevo en este estado, su forma se aproxima a la original, pero sin recuperarla.

Fase elástica. La curva tensión-deformación de una varilla sometida a un esfuerzo de tracción, que se comporta cualitativamente igual que una varilla de flexión, es claramente diferente de la del vidrio. También presenta inicial mente un segmento rectilíneo que describe la fase lineal-elástica. La pendiente de este segmento recto corresponde al módulo de elasticidad E, que tiene un valor de 210.000 N/mm2 para todos los tipos de acero. (Figura 31.1 y 31.2)

02 - dimensionamiento

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Fase plástica. La fase plástica posterior con las deformaciones irreversibles se caracteri za por una fuerza externa constante y, por tanto, también por una tensión constante. La fuerza correspondiente se denomina fuerza de fluencia Fy y la tensión asociada, tensión de fluencia o límite elástico fy. Para un acero estructural convencional, el límite elástico es de 235 N/mm2, este valor forma parte de la designación del acero. (Figura 31.3 y 31.4) Fluencia y descarga. En el diagrama, el comportamiento de fluencia se describe con un segmento de línea horizontal. Además, se muestra el comportamiento durante la descarga después de que la barra ya se haya deformado plásti camente. Se observa que la pendiente del segmento correspondiente es la misma que la del segmento inicial, lo que significa que el módulo de elasticidad es el mismo. La distancia entre el punto de descarga completa y el origen de coordenadas representa la deformación plástica permanen te. (Figura 31.5 y 31.6)

Figura 32

Resistencia del hormigón a la compresión. La resistencia a la compresión del hormigón es unas diez veces mayor que su resistencia a la tracción. Si se modifica el contenido de cemento, el tipo de árido (grava y arena) o, sobre todo, el contenido de agua, se producen hormigones con diferentes resistencias. La denominación del hormigón, por ejemplo, C20/25 (hormigón) contiene la resistencia a la compresión del hormigón medida en cilindros de ensayo (resistencia a la compresión en cilindros fc = 20 N/mm2) y la resistencia a la compresión del hormigón determinada en cubos de ensayo (resistencia a la compre sión en cubos fc' = 25 N/mm2), que es superior a la resistencia a la com presión en cilindros debido a las condiciones de ensayo. La figura muestra el comportamiento tensión-deformación de tres tipos diferentes de hormigón. A diferencia del acero, el módulo de elasticidad depende del tipo de hormigón. También se observa que, de forma similar al acero, la ductilidad del hormigón disminuye con el aumento de la resistencia, es decir, el hormigón se vuelve más quebradizo bajo tensión de compresión con el aumento de la resistencia.

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02 - dimensionamiento

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Figura 33

Resistencia del hormigón a la compresión. La resistencia a la compresión del hormigón es unas diez veces mayor que su resistencia a la tracción. Si se modifica el contenido de cemento, el tipo de árido (grava y arena) o, sobre todo, el contenido de agua, se producen hormigones con diferentes resistencias. La denominación del hormigón, por ejemplo, C20/25 (hormigón) contiene la resistencia a la compresión del hormigón medida en cilindros de ensayo (resistencia a la compresión en cilindros fc = 20 N/mm2) y la resistencia a la compresión del hormigón determinada en cubos de ensayo (resistencia a la compre sión en cubos fc' = 25 N/mm2), que es superior a la resistencia a la com presión en cilindros debido a las condiciones de ensayo. La figura muestra el comportamiento tensión-deformación de tres tipos diferentes de

hormigón. A diferencia del acero, el módulo de elasticidad depende del tipo de hormigón. También se observa que, de forma similar al acero, la ductilidad del hormigón disminuye con el aumento de la resistencia, es decir, el hormigón se vuelve más quebradizo bajo tensión de compresión con el aumento de la resistencia.

02 - dimensionamiento

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02 - dimensionamiento

Estática Gráfica

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Figura 34

Diagramas de forma y de fuerzas. En la estática gráfica, las fuerzas de una estructura se representan como vectores en dos diagramas: el diagrama de forma y el diagrama de fuerzas (Figura 34). El diagrama de forma muestra la geometría de la estructura con todos sus elementos y la ubicación de las cargas. Las fuerzas que actúan sobre y dentro de los elementos se muestran en el diagrama de fuerzas a una escala apropiada. El diagrama de forma y el diagrama de fuerzas son dibujos duales, es decir, los segmentos individuales (c1-c4 o c'1-c'4) y las fuerzas (F1-F2, A, B y R) están presentes en ambos diagramas. El equilibrio de cada nudo en el diagrama de forma se toma en cuenta representándolo como un polígono de fuerzas cerrado en el diagrama de fuerzas. Cada línea en el diagrama de forma corresponde a una línea paralela en el diagrama de fuerzas.

En el ejemplo anterior, la longitud de c'4 en el diagrama de fuerzas indica la magnitud de la fuerza normal en el elemento correspondiente c4. La resultante R de las cargas F1 a F3 también puede representarse en el diagrama de forma y de fuerzas en relación con las fuerzas individuales. La magnitud y dirección de la resultante se determinan en el diagrama de fuerzas, mientras que su línea de acción se establece en el diagrama de forma.

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03 - estática gráfica

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Figura 35

Figura 36

a

b

c

03 - estática gráfica

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1. Dibujo del diagrama de forma. Partiendo del sistema estático (Figura 36.a), se crea el diagrama de forma (Figura 36.a). Para ello, se dibujan todos los elementos conocidos (barras o segmentos de cable) a una escala definida. Cada barra o segmento corresponde al eje geométrico de un elemento de soporte. A continua ción, se dibujan las cargas actuantes y las reacciones en los apoyos espe radas (Figura 36.b). En el ejemplo, para simplificar, la resultante R12, es reemplazada por dos fuerzas individuales F1 y F2. 2. Etiquetado del diagrama de forma. Cada fuerza y cada barra individual o segmento recibe su propia etiqueta. De esta manera, estos elementos pueden ser claramente asignados e identificados más tarde en el diagrama de fuerzas. En el ejemplo (Figura 36.b), son las barras c₁-c11, las fuerzas actuantes F1, F2 y F3, así como las reacciones en los apoyos BH y BV. 3. Determinación de las reacciones en los apoyos. A continuación, es necesario determinar las reacciones en los apoyos (Figura 36.c). Esto puede hacerse mediante cálculo o, en el caso de siste mas estáticamente determinados, mediante una construcción gráfica.

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03 - estática gráfica

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a

b

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d

e

Figura 37

Dirección de lectura. Un polígono de fuerzas cerrado puede ser dibujado de diferentes mane ras, dependiendo del orden de las fuerzas. Para que los distintos polígo nos puedan superponerse, deben ser dibujados con la misma dirección de lectura. La dirección de lectura define la dirección de giro al leer las fuer zas alrededor de un nudo en el diagrama de forma y, por lo tanto, el orden de las fuerzas a dibujar en el diagrama de fuerzas (Figura 37.a).

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4. Construcción de la línea de fuerzas. La línea de fuerzas es el polígono de todas las fuerzas externas (cargas y reacciones en los apoyos). Si el polígono está cerrado, el sistema en su conjunto se encuentra en equilibrio (equilibrio global). Para construir la línea de fuerzas, todas las fuerzas externas se disponen en secuencia. Para ello, se define primero una dirección de lectura (aquí en el sentido de las agujas del reloj), que determina el orden de las fuerzas a dibujar. En el ejemplo, se comienza con la fuerza aplicada F1 (Figura 37.a), que se trasla da de manera paralela del diagrama de forma al diagrama de fuerzas. Se continúa en el sentido de las agujas del reloj (dirección de lectura) con las fuerzas F2 (Figura 37.b) y F3 (Figura 37.c). Luego se añade la fuerza de reac ción BH (Figura 37.d). La fuerza BV es la última de las fuerzas externas que se añade aquí y con ella se cierra el polígono (Figura 37.e).

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Figura 38

Equilibrio global y local. El análisis del equilibrio global se explicó mediante la construcción de la línea de fuerzas. Si se considera un nudo de forma aislada, este está en equilibrio cuando todas las fuerzas que actúan en el nudo forman un polígono cerrado en el diagrama de fuerzas. El polígono se denomina modelo del equilibrio local de las fuerzas internas. En la Figura 38 se muestra el equilibrio de cada nudo individual (I-VII). El nudo VI no apare

ce en el diagrama de fuerzas porque en el caso de carga dado no hay fuerzas presentes. Los miembros c10 y c11 están descargados o son miem bros nulos. Se puede observar que todos los elementos que se intercep tan en un nudo en el diagrama de forma constituyen un polígono cerrado en el diagrama de fuerzas. Si se superponen estos polígonos, se obtiene el diagrama de fuerzas completo.

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Figura 39

Elementos nulos. Elementos nulos. Los elementos nulos son los que, en un caso de carga dado, no soportan fuerzas. Sin embargo, no pueden ser simplemente eliminados por razones de estabilidad. Es recomendable identificar posi bles elementos nulos de antemano:

- Regla 1: Si dos barras con direcciones diferentes se encuentran en un nudo no cargado, estas pueden considerarse como elementos nulos. (Esto se aplica a las barras c10 y c11 en el nudo VI). - Regla 2: Tres barras en un nudo sin carga: Si dos barras están alinea das en la misma dirección, la tercera barra es un elemento nulo. - Regla 3: Dos barras en un nudo con carga: Si la fuerza externa actúa en la dirección de una barra, la otra barra es un elemento nulo.

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5. Construcción del Diagrama de Fuerzas. Dada la línea de fuerzas, el polígono de fuerzas de todas las fuerzas exter nas (Figura 39). Se debe trabajar con la misma dirección de lectura utiliza da al crear la línea de fuerzas (en el sentido de las agujas del reloj). Se comienza en un nudo que tiene un máximo de dos elementos desconoci dos - por ejemplo, el nudo I. Todos los miembros y fuerzas que se encuentran en este nudo en el diagrama de forma (F1, c1, c2) deben gene rar un polígono cerrado en el diagrama de fuerzas para que haya un equi librio local en el nudo. En el ejemplo, F1 es dado. Las líneas de acción c1 y c2 se transfieren desde diagrama de forma al diagrama de fuerzas (en la dirección de lectura definida). Se crea un punto de intersección donde el triángulo de fuerzas puede cerrarse. Las direcciones de las fuerzas se transfieren del diagrama de fuerzas al diagrama de forma. El mismo procedimiento se aplica con el nudo III.

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Figura 40

A continuación (Figura 40), se busca el equilibrio en el nudo II. La fuerza F2 es conocida. El tamaño y la dirección de c'2 y c'6 ya se determinaron en los nudos I y III. Lo que se busca son las fuerzas en los miembros c3 y c5. Cabe destacar que en los nudos opuestos de un miembro las fuerzas actúan siempre en direcciones opuestas. Nuevamente, las líneas de acción de c3 y c5 se transfieren al diagrama de fuerzas, de modo que el polígono de fuerzas se cierra. En el nudo IV, c'5 y c'7 son conocidos, se

buscan c'4 y c'8. Al cerrar el polígono de fuerzas, se pueden determinar c'4 y c'8. En el nudo VII solo se pueden dibujar cuatro miembros en el polígono de fuerzas porque c10 es un elemento nulo. Las fuerzas en el último nudo V ya son todas conocidas. Así, el diagrama de fuerzas está completo e incluye las magnitudes de las fuerzas de todos los elemen tos en el diagrama de forma.

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Figura 41

Interpretación del Diagrama de Fuerzas. Las magnitudes de las fuerzas internas de los elementos individuales pueden ser medidas directamente del diagrama de fuerzas, de acuerdo con la escala de fuerzas definida. En el ejemplo de la figura 41 se utiliza una escala de 1 cm es equivalente a 2700 kN. Determinación de tracción y compresión. Para determinar los tipos de esfuerzos en cada elemento se considera el equilibrio local de un nudo en la dirección de lectura previamente defini da y se dibuja el polígono correspondiente. Es más fácil y rápido hacer

esto durante la construcción del diagrama de fuerzas. Considerando las fuerzas que actúan en el nudo, se aplica lo siguiente: si la fuerza actúa alejándose del nudo, es una fuerza de tracción, por lo tanto, positiva. Si la fuerza actúa hacia el nudo, es una fuerza de compresión y, por lo tanto, negativa. Este proceso se muestra en la Figura 41 en los nudos II y IV. Una vez que todos los elementos están definidos, el resultado puede repre sentarse en el diagrama de forma asignándole el color rojo a las barras que se encuentran a tracción y azul a las que se encuentran a compre sión.

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a

b

c

Figura 42

Diferentes estados de carga. Los diagramas de fuerzas pueden usarse para investigar y optimizar una estructura portante. Si se cambian los parámetros en el diagrama de forma, los efectos son claramente visibles en el diagrama de fuerzas (Figura 42). En el ejemplo (a), se simula un aumento y cambio de orienta ción de la carga en la fuerza F3. En el diagrama de fuerzas, se puede ver que las fuerzas aumentan y que los elementos c10 y c11 se activan debido a la carga adicional. En el ejemplo (b), todas las fuerzas externas perma

necen iguales, pero la geometría de la estructura portante se cambia. El cambio en las fuerzas de los elementos se puede leer en el diagrama de fuerzas (b). En el ejemplo (c), la estructura reticulada en la parte superior izquierda no está cargada con un contrapeso, lo que resulta en la elimi nación de las fuerzas F1 y F2. Aquí se puede ver en el diagrama de fuerzas que algunas fuerzas permanecen iguales, mientras que otras se reducen. Además, c10 ya no es un elemento nulo.

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a

b

Determinación de la posición de una Resultante. Si las líneas de acción de las fuerzas se intersecan en un punto (Figura 43.a), se encuentra la resultante al conectar las fuerzas de manera arbi traria una tras otra. Esta siempre pasa por el punto de intersección (dia gramas de fuerzas en Figura 43.b y c).

c

Figura 43

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a

a1

Si las líneas de acción no se intersecan en un punto, se debe proceder de la siguiente manera: Dadas tres fuerzas arbitrarias (Figura 44.a), se buscan el tamaño y la posición de la resultante de estas tres fuerzas. Primero se construye la línea de fuerza en el diagrama de fuerzas (Figura 44.a). Conectar el punto de inicio y el punto final de la línea de fuerza da como resultado el tamaño y la dirección de la resultante R. Ahora se dibuja una construcción auxiliar (polígono de cuerdas) para determinar la posición de la línea de acción de la resultante en el diagra ma de forma. La construcción auxiliar puede ser una cuerda colgante (Figura 44.a1) o un arco (Figura 44.a2). Para ello, se elige un polo “o” de manera libre. Los rayos resultantes se transfieren en paralelo al diagrama de forma. Las extensiones del primer y último segmento en el diagrama de forma se intersecan en un punto, por el cual también debe pasar la resul tante. Esta es siempre una de las infinitas soluciones posibles. Sin embar go, la posición de la resultante siempre permanece igual. Este método puede usarse también para determinar la línea de acción de una resultan te en un sistema donde hay fuerzas convergentes o híbridos, donde hay fuerzas convergentes y no convergentes (Figura 44.b).

a2

c

Figura 44

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a

Línea de cierre. La línea que conecta los puntos 1 y 2 (apoyos) se llama línea de cierre (Figura 45.a). Si se desplaza el polo “o” en el diagrama de fuerzas a lo largo de la línea de cierre, cambia la distancia vertical “y” de cada punto a la línea de cierre de la construcción en el diagrama de forma (Figura 45.a). Si se cambia la inclinación de la línea de cierre en el diagrama de forma, resultan diferentes polos en el diagrama de fuerzas (Figura 45.b). En este caso, la altura “y” cambia de manera inversamente proporcional a H.

b

Figura 45

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El ejemplo de la Figura 46 muestra cómo, con la ayuda de la línea de cierre, se determina la línea de apoyo entre dos puntos que soportan las fuerzas F1 hasta F4. Primero se determina la dirección de R. LAR se despliega en paralelo a través de los dos apoyos. Ahora se construye el sistema sustituto a partir de LAR1. La línea de cierre sustituta LC' (entre los puntos 1' y 2') se despliega en paralelo a partir del polo en el diagrama de fuerzas sustituto. El punto de intersección de LC' con R en el diagrama de fuerzas en el punto “p” es constante, independientemente de la forma de la línea de apoyo. Así, la línea de cierre LC puede ser desplegada en para lelo a partir de este punto en el diagrama de fuerzas. Cualquier punto a lo largo de esta línea puede ahora ser demarcado como polo “o” y los rayos correspondientes c’1 hasta c’5 pueden ser transferidos al diagrama de forma. Estos dan como resultado la línea de apoyo buscada a través de los puntos 1 y 2.

Figura 46

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Figura 47

Resultante y reacciones de apoyo. Como regla general, si la línea de acción de la resultante y las líneas de acción de las reacciones de apoyo se interceptan en un punto en el diagrama de forma (Figura 47.a), las reacciones de apoyo pueden ser determinadas gráficamente con la ayuda de la resultante. Reacciones de apoyo en fuerzas paralelas. Si la línea de acción de R es paralela a la línea de acción de una reacción en alguno de los apoyos, no se puede determinar una solución. En este caso, se debe trabajar con una construcción auxiliar (sistema sustituto)

(Figura 47.b y c). Primero se dibuja la línea de fuerza sin las reacciones en los apoyos. Luego se elige libremente un polo “o” y se dibujan los segmentos correspondientes (c) en el diagrama de fuerzas. Estos segmen tos se transfieren ahora al diagrama de forma. Según la regla de que todos los elementos que en el diagrama de fuerzas forman un polígono cerrado se interceptan en un punto en el diagrama de forma, se puede dibujar la construcción auxiliar o sustituto en el diagrama de forma. La línea de cierre encontrada de esta manera se transfiere al diagrama de fuerzas, con lo cual se pueden determinar las reacciones de apoyo AV y BV.

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